Στα δυτικά του χωριού και πολύ κοντά είναι η Αφάνεια, στα ανατολικά η Βατυλή, στα βορειοδυτικά, βόρεια και βορειοανατολικά η Αγκαστίνα, ο Μαραθόβουνος, η Μουσουλίτα και ο Στρογγυλός.  Στα νότια, σε κάπως μεγαλύτερη απόσταση, είναι η Τρεμετουσιά, το Άρσος, η Αθηαίνου και δυο μικρά τουρκικά χωριά, η Αγιά και η Μελούσια.

Στη βόρεια πλευρά του χωριού εκτείνεται η πεδιάδα της Μεσαορίας, πλούσιος, εύφορος κάμπος, όπου ευδοκιμεί κυρίως το σιτάρι, παλαιότερα δε καλλιεργούσαν και το βαμβάκι, το σησάμι, τα μποστάνια.  Είναι επίπεδη εύφορη γη, με λίγα δέντρα, ποτίζεται από τον ποταμό Γιαλιά που τη γεμίζει με πλούσιες προσχώσεις.  Ένα παλιό αρδευτικό σύστημα - βαθιά αυλάκια που οδηγούν το νερό σε όλες τις περιοχές - και κάποιοι άγραφοι κανονισμοί και ο τεράστιος μόχθος των κατοίκων βοηθούν στο πότισμα της περιοχής, απαραίτητο για κάθε γεωργική παραγωγή.  Στα νότια είναι ο Τράχωνας, γη λιγότερο γόνιμη, «φτανή» ή και πετρώδης, που δεν ποτίζεται παρά από τη βροχή και με λάκκους.  Εδώ σπέρνεται κυρίως κριθάρι και βόσκουν τα πρόβατα.  Εδώ βρίσκονται και τα περβόλια που παράγουν πλούσια και καλής ποιότητας λαχανικά.

Το όνομα του χωριού προέρχεται κατά μια εκδοχή από το άδεντρο και άσκιο της περιοχής.  Τα δέντρα ήταν πάντα πολύ λίγα και δεν υπήρχε σκιά.  Η περιοχή ήταν άσκια (χωρίς σκιά), σιγά-σιγά δε με κάποια παραφθορά συνήθη στην Κυπριακή σε όμοιους φθόγγους, έγινε Άσσια.  Στα μεσαιωνικά κείμενα αναφέρεται σαν Άσκια ή Ασκία ή Ascia.

Σχετικά αναφέρει ο Σ. Μενάδρος στο βιβλίο του «Το τοπωνυμικό της Κύπρου», Αθήναι, 1907:

«Επίσης Άσσια καλείται παλαιά κώμη (Μσ.) μνημονευομένη πολλάκις επί της Φραγκοκρατίας ότι απετέλη κατά την ενετικήν απογραφήν το baliazzo d'Ascha (Mas L. III 509).  Άσσος  δε ήτο πόλις της Μυσίας επί του Αδραμυττίου κόλπου.  Εν ταις Assises γράφεται διαφοροτρόπως Aschia, Achia, Asquie (τόμ. 11 σ. 457, 461, 471) και παρά Μαχαιρά (269, 271, 286) «Άσκια» και «Αχεά» (σ. 69) πάσαι δ'αι γραφαί αύται μαρτυρούσιν ότι έκτοτε συνέπεσεν η προφορά των και σήμερον συγχεομένων φθόγγων σσι, σκι, χχι πάντων ακουόμενων ως ταχύ ιταλικόν sc (βλ. Αθ. S΄, 151)».

Υπάρχει και μια λαϊκή ετυμολογία, κοινή σε πολλούς κατοίκους του χωριού ότι το όνομα το πήρε από τα ασκιά που κατασκεύαζαν πολλοί κάτοικοι από δέρματα προβάτων και αιγών.  Σε περιόδους ηρωικών φαγοποτιών και ομηρικών διαγωνισμών στο πιοτό έλεγαν ότι το όνομα προήλθε από το ότι οι κάτοικοι εδώ έπιναν το κρασί με τα ασκιά.

Σχεδόν σε όλες τις πλευρές του χωριού, σε πολύ κοντινή ή κάπως πιο μακρινή απόσταση, υπάρχουν λείψανα από παλαιούς οικισμούς, που δείχνουν την κατά καιρούς τοποθεσία του χωριού.  Στα νότια υπάρχει η τοποθεσία «καταλύματα», όπου βρίσκονταν διάφορα πήλινα σπασμένα αντικείμενα, πηγάδια, σπηλιές, δείγμα τούτο ότι εκεί ήταν κάποιος παλαιός οικισμός.  Η ονομασία, τα αντικείμενα και κάποιες παραδόσεις κάνουν την εκδοχή αυτή πολύ λογική.

Πολλοί παλαιότεροι κάτοικοι του χωριού υποστήριζαν ότι σε προηγούμενα χρόνια το χωριό βρισκόταν στην τοποθεσία Μάνια (Μάνγκια), προς το μέρος της Αγκαστίνας καταμεσής στον κάμπο.  Εκεί η γη είναι γόνιμη και υπήρχαν πολλά νερά.  Δίπλα εκεί περνούσε ο δρόμος της Μεσαορίας.  Κάπου κοντά ενωνόταν ο ποταμός Γιαλιάς με τον Πεδιαίο.  Τον καιρό της Φραγκοκρατίας υπήρχε εκεί μοναστήρι, με εκκλησία του Αγίου Γεωργίου και με δώδεκα μοναχούς.

Οι Τούρκοι κατέστρεψαν το μοναστήρι και το μετέτρεψαν σε αγρόκτημα.  Το αγρόκτημα το δώρισε ο Λαλά - Μουσταφάς στο Ραματάν πασά που έμενε στην Άσσια.  Επειδή όμως η περιοχή πλημμύριζε από τα νερά του ποταμού και γινόταν λασπώδης, οι κάτοικοι της Μάνιας αναγκάστηκαν να μετακινηθούν προς την Άσσια, στα βόρεια του σημερινού χωριού.  Διάφοροι γέροντες ανέφεραν: «Πάντα ακούαμε για μια γυναίκα που μπήκε μπροστά και μαζί με άλλους χωριανούς  μας χώρισαν τους δυο ποταμούς, έτσι που ο Γιαλιάς να περνά δίπλα από το χωριό μας».  Η γυναίκα αυτή λέγεται πως ήταν η Κόμισσα Μαρία, που είχε μεγάλο αγρόκτημα, εκεί όπου σήμερα είναι το χωριό Στρογγυλός.  Το γεγονός αυτό τοποθετείται τον καιρό της Τουρκοκρατίας.

Ο ποταμός όμως εξακολουθούσε να τους δημιουργεί προβλήματα κι έτσι αναγκάστηκαν να μετακινηθούν προς τα νότια, που ήταν πιο ψηλά, εκεί περίπου που σήμερα είναι η Άσσια.  Η νέα τοποθεσία ήταν στην περιοχή Προδρόμου και Χανούθκια, στα βορειοδυτικά του χωριού.  Στην τοποθεσία Προδρόμου βρέθηκαν θεμέλια, ίσως ναού, που οι πέτρες του χρησιμοποιήθηκαν για την ανέγερση της εκκλησίας Προδρόμου στην πάνω ενορία του χωριού.  Για την ύπαρξη εκκλησίας σε αυτή την περιοχή μιλούν και διάφορες διηγήσεις μεταξύ των γεροντότερων Ασσιωτών.  Πολλοί έλεγαν ότι θυμούνταν που στην περιοχή αυτή γινόταν υπαίθρια θεία λειτουργία με κάποιες πολύ πρόχειρες διευθετήσεις.

Ερείπια υπήρχαν και στην περιοχή Χανούθκια (=μαγαζιά, καταστήματα), καθώς και μια μικρή πλινθόκτιστη εκκλησία του Αγίου Θεοδώρου στα βορειοανατολικά του χωριού.  Η εκκλησούλα υπήρχε μέχρι το 1974.  Εκεί, όταν έσκαβαν για να πάρουν «χαβάρα» για επίστρωση των δρόμων, έβρισκαν σκελετούς ανθρώπων, γεγονός που μαρτυρεί ότι θα βρισκόταν κάποιο νεκροταφείο.  Επί πλέον στην περιοχή αυτή υπήρχαν τρεις λάκκοι: ο Λουρικός, στο δρόμο Άσσιας - Αγκαστίνας, ο Λάκκος της Καμάρας, στο δρόμο Άσσιας - Στρογγυλού και ένας άλλος.  Από αυτούς πότιζαν οι βοσκοί και υδρευόταν όλο το χωριό, γιατί δεν υπήρχε άλλη προμήθεια πόσιμου νερού.

Μια άλλη μαρτυρία για το ότι το χωριό βρισκόταν τότε σε αυτή την περιοχή είναι η εκκλησία της Παναγίας.  Είναι μια εκκλησία του 15ου αιώνα που έχει μεγάλη αρχαιολογική αξία, όπως αναφέρει και ο άγγλος αρχαιολόγος Robert Gunnis.  Οι τοίχοι της ήταν σκεπασμένοι με τοιχογραφίες, καλύφθηκαν όμως από τους χωρικούς κατά την επισκευή της.  Υπήρχε ως το 1974 στην εκκλησία σταυρός 17ου αιώνα και διάφορες παλαιές εικόνες.